In der August-Ausgabe von Land&Leben gab es einen Beitrag mit der Überschrift "Mathe macht glücklich".
Startete der Beitrag noch mit „Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat!“, kam es im zweiten Absatz gleich zu einem ganz praktischem Beispiel zur Anwendung des "Satz des Pythagoras". Mathe in der praktischen Anwendung.
In Ergänzung zur Seite mit ein paar Home-Schooling Links (hier im Blog, als die Corona-Schutzmaßnahmen "Lernen zuhause" nötig machten) soll dieser interessant Beitrag auch online vorliegen.
Der Mathe-Beitrag ist von Michael Leinemann geschrieben, der Nachhilfe Zeven (auch Mathe Nachhilfe) mit der UNI-Leinemann anbietet.
Der Satz des Pythagoras – von Michael Leinemann
„Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat!“ Diesen Satz habe ich das erste Mal gehört, da war ich ca. zehn Jahre alt oder vielleicht sogar jünger. In einem alten „DDR“-Science-Fiction-Film ging es irgendwie darum, dass Kinder (!) eine Rakete bauen und die Welt retten wollten. Irgendwann unterhielten sich diese Kinder, die in etwa so alt wie ich damals waren, und dabei fiel eben dieser Satz: „Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat!“ Ich war völlig fasziniert, dass es so hyperintelligente Kinder gibt, die so komplizierte Sachen wussten. Wenn ich groß bin, will ich auch einmal so schlau sein!
Nachhilfe Mathe ;)
Nun, das Ganze ist jetzt schon viele Jahre her und mittlerweile verstehe ich diesen Satz, den Satz des Pythagoras. Mit Buchstaben lernt man ihn in der neunten Klasse kennen: a2 +
b2 = c2. Und er bedeutet nicht mehr und nicht weniger, als dass, wenn in einem rechtwinkligen Dreieck die eine Seite quadriert wird (also ihre Länge wird mit sich selbst mal
genommen; a x a = a2), die andere Seite quadriert wird (b x b = b2) und wenn man die beiden ad- diert, das Quadrat der längeren Seite herauskommt (c x c = c2 ).
Umgekehrt kann man mit diesem Seitenverhältnis einen rechten Winkel erstellen.
Ein ganz praktisches Beispiel zur Anwendung des Satz des Pythagoras:
So habe ich vor Jahren an der Giebelseite meines Hauses eine Holzterrasse angelegt und konnte mit meinen Kindern Mathematik praxisnah erfahren: Die 3 Meter langen Bretter sollten rechtwinklig vom
Haus aus wegführen. Mit dem Geodreieck aus der Schule kommt man da nicht weit, um einen 90°-Winkel auszumessen. Wir brauchten etwas Größeres, also musste ein Seil her. 3 Meter an der Hauswand
lang (a) und 4 Meter weg vom Haus (b). Wie lang muss nun also das Seil (c) sein, um einen rechten Winkel zu haben? Dank des Satz des Pythagoras fanden wir heraus: Wenn dann die Strecke zwischen
den Seilenden fünf Meter beträgt, dann liegt zwischen dem 3- und dem 4-Meter-Stück ein rechter Winkel.
Diese Zahlen (3 Meter, 4 Meter und 5 Meter) erfüllen die Gleichung a + b = c . Rechnen wir das also mal durch: 3hoch2 +4hoch2 = 5hoch2 und somit 3x3+4x4 =5x5, also 9+16=25. Stimmt!
Dass das so ist, das wussten wahrscheinlich bereits die alten Babylonier (ca. 1.700 Jahre v. Chr.) und auch die Ägypter (ca. 1.800 Jahre v. Chr.). Pythagoras (bzw. seine Schule) war allerdings
wohl der Erste, der diesen Satz dann auch bewies und publizierte, also feststellte, dass dieser Satz für alle denkbaren rechtwinkligen Dreiecke dieser Welt seine Richtigkeit hat.
Buch Gratis downloaden
Apropos: Ich glaube, dass das der Satz mit den meisten Beweisen ist. Der Mathematiker Elisha Scott Loomis (1852 bis 1940) hat in seinem Werk „The Pythagorean Proposition“ 344 (!) Beweise für den
Satz des Pythagoras gesammelt und besprochen (Veröffentlicht im Jahr 1968). Man kann dieses Buch gratis downloaden unter: www.archive.org/ details/in.ernet.dli.2015.84599.
Einer dieser Beweise ist so elegant und wirklich auch so einfach, dass ich ihn hier kurz zeigen möchte:
Man nehme vier gleich große rechtwinklige Dreiecke und lege sie so wie oben (Bild 1) zu einem Quadrat. Die Seitenlänge des Quadrats ist dann a + b. Und die blaue Fläche, die in
der Mitte entstanden ist, ist nun c2 groß.
Legt man die gleichen Dreiecke nun so, dass sich Bild 2 ergibt, ist das gesamte Quadrat wieder a + b lang. Die kleinen blauen Quadrate sind nun a2 und b2 groß.
Da die gelben Dreiecke ihre Größe nicht geändert haben und die beiden gesamten Quadrate gleich groß sind, folgt daraus nun ganz leicht, dass das eine linke blaue Quadrat genauso groß, ist wie die
beiden blauen rechts zusammen, also: a2 + b2 = c2 .
So leicht ist es, den wohl bekann- testen Satz der Schulzeit zu beweisen. Hurra!
Aber gibt es nur für Gleichungen mit hoch zwei ganzzahlige Lösungen, wie (3, 4, 5) oder auch (6, 8, 10)?
Der geniale französische Mathematiker Pierre de Fermat (1607 bis 1665) hat im 17. Jahrhundert mit seinem berühmten Großen Fermatschen Satz behauptet, dass es keine ganzzahlige Lösung gibt, wenn die Potenz größer als 2 ist, sprich, für hoch drei und mehr kommen nur Kommazahlen heraus. Das rief zahlreiche Mathematiker auf den Plan, die versuchten, dieses Problem zu lösen. Im Jahr 1908 wurde von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen sogar ein Preisgeld in Höhe von 100.000 Goldmark ausgeschrieben. Aber erst über 350 Jahre nach Fermats Behauptung konnte im Wesentlichen von Andrew Wiles 1994 dieser Satz bewiesen werden, was als Höhepunkt der Mathematik des 20. Jahrhunderts gilt. Ausbezahlt an Wiles wurden übrigens im Jahre 1997 von dem Preis dann noch 75.000 DM. Ihr seht, Mathematik rechnet sich!
Rechnen mit den Simpsons
Die Abschlussaufgabe:
In der Die-Simpsons-Folge „Im Schatten des Genies“ hat Homer Simpson dann doch noch eine vermeintliche Lösung an die Tafel geschrieben: 3987hoch12 + 4365hoch12 = 4472hoch12.
Wo steckt der Fehler?
Jede richtige Antwort wird mit einer „Mathe macht glücklich“- Postkarte belohnt. Schickt Eure Antworten per Brief- oder elektronischer Post an UNI-L, Lindenstraße 1, 27404 Zeven; Tel. 04281-19418
oder uni-leinemann@gmx.de.
Ein Beitrag von Dipl. Inform. Michael Leinemann, „Unabhängiges Nachhilfe-Institut Leinemann“, Zeven, www.uni-leinemann.com. (Ausgabe
August 2020, Land&Leben Magazin)
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